Главная

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ

Динамика плоского движения твердого тела

Пример Д8. Каток (сплошной однородный цилиндр) радиуса R и веса Р начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона ; на каток действует сила .

Дано: f =0,2Р, =60⁰.

Определить: 1) х_с=f(t) – закон движения центра масс катка;

2) f_min – наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

Указания. Задача — на применение дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует во избежание ошибок в знаках направить координатную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным движение центра С барабана, и считать тогда все моменты положительными, когда они направлены в сторону вращения барабана. Если фактически направление движения центра С другое, то в ответе получится a_с<0, но найденное значение будет верным. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону.

Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что , откуда . Следовательно, . Очень существенно, что во все эти выражения входят модули сил (мы не пишем , так как в данной задаче не может быть N<0). Если при расчетах получится F_тр<0, то это означает лишь, что фактически сила направлена в другую сторону; в остальном весь расчет будет верен.

Рис. Д8

Решение.

Каток совершает плоскопараллельное движение. Покажем действующие на него силы: . Так как направление силы трения заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Проведем оси Oxy так, что ось Oy проходит через начальное положение центра масс катка и ось Ox параллельна линии движения центра масс катка. Составим дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения:

; ; (1)

; ; (2)

; . (3)

за положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки, т.е. в ту сторону, куда будет вращаться каток при движении центра С от оси Oy.

Учитывая, что центр масс катка не движется в направлении оси y и y_С=R=const, определяем, что в уравнениях (1) – (3) четыре неизвестные величины: и . Две из них, и , должны быть связаны кинематическим соотношением. Действительно, поскольку в точке Д находится мгновенный центр скоростей катка (движение без скольжения), то . Дифференцируя последнее равенство по времени, получим:

. (4)

Теперь в четырех уравнениях (1) – (4) четыре неизвестные величины.

Найдем х_с=f(t). Выразим из уравнения (3) F_тр и подставим в уравнение (1), получим (с учетом равенства (4)):

.

Отсюда: .

Подставим данные задачи и учтем, что Р=mg. Получим следующее дифференциальное уравнение:

. (5)

Интегрируя, получим:

=0,31gt +C₁; . (6)

Подставим в равенства (6) начальные условия: при t=0 х_С =0, . Найдем С₁=0, С₂=0. Окончательно из (6) находим закон движения центра С:

х_С=0,16gt². (7)

Определим f_min. При качении без скольжения

. (8)

Величину N находим из уравнения (2), учитывая, что . Получим:

. (9)

Величину F_тр найдем из уравнения (1), заменив в нем его значением из (5). Получим:

.

Отсюда, так как mg =P, то

. (10)

Здесь F_тр получилась положительной, значит, направлена так, как показано на рис. Д7. Подставляя значения N и F_тр из равенств (9) и (10) в неравенство (8), получим 0,36P f·0,5P, откуда f 0,72. Следовательно, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение катка без скольжения,

f_min = 0,72.

Принцип Даламбера

Пример Д9. Груз массой 200 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок, и в первые 5с проходит 10м. Определить силу натяжения троса.

Рис. Д9

Указание. При решении задачи рекомендуется такая последовательность:

1. выделить точку, движение которой рассматривается в данной задаче;

2. выяснить, какие активные силы действуют на точку и изобразить их на рисунке;

3. освободить точку от связей, заменив их реакциями;

4. к образовавшейся системе сил добавить силу инерции, помня, что направлена она по линии вектора ускорения точки, но в противоположную сторону;

5. выбрать расположение осей координат и составить два уравнения проекции всех сил на эти оси ();

6. решив уравнения, определить искомые значения величин.

Решение.

Обозначив груз точкой А, приложим к нему силу тяжести G, реакцию троса Т, и добавим к ним силу инерции F_и, направив ее в сторону, противоположную ускорению.

Ускорение а определяем из уравнения равнопеременного движения так как начальная скорость

Согласно принципу Даламбера силы G, Т и F_и находятся в равновесии, т.е.

, откуда .

Выражая силу инерции и силу тяжести через массу груза (, ), получаем

Ответ: 1,8кН

Пример Д9. Вертикальный вал длины 3а (AB = BD = DE = а), закрепленный подпятником A и подшипником E (рис. Д9б), вращается с постоянной угловой скоростью . К валу жестко прикреплен в точке D ломаный однородный стержень массы и длины ,состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке B прикреплен невесомый стержень длины с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано:= 15 с^-1, 10 кг, =4 кг, = 30⁰, = 120⁰, =30⁰, = 0,5 м, = 0,1 м.

Определить: реакции подпятника A и подшипника E, пренебрегая весом вала.

Указания. Задача – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что, когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно =ma_c, где а_с – ускорение центра масс С тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С.

а) б)

Рис. Д9

Решение.

Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках B и D стержни (рис. Д9а). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

; ; ; ; . (1)

Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси Axy так, чтобы стержни лежали в одной плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести и реакции связей – составляющие реакции подпятника , и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то полные ускорения элементов стержня равны нормальным ускорениям, , направлены к оси вращения и численно равны , где есть расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно равны , где – масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюра этих параллельных сил инерции для части 1 стержня образует треугольник. Силы , действующие на элементы части 2 стержня, параллельны ей (рис. Д9а).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где – масса тела, – ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим:

. (2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению, и численно равна

. (3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

, (4)

где , – расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а – соответствующее расстояние груза:

м,

м, (5)

м.

Подсчитаем теперь по формулам (2) и (3) значения , и :

н,

н, (6)

н.

Линия действия равнодействующей проходит через центр тяжести эпюры сил инерции части 1 стержня на расстоянии 2H/3 от вершины D треугольника, где . Линия действия равнодействующей проходит вдоль части 2 стержня.

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

; ,

; , (7)

;

где H₁, H₂, H₃ – плечи сил , , относительно точки A. Найдем численные значения этих величин, учитывая, что

м.

м, м, (8)

м.

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6) и (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А=-95,0 Н; Y_A= 140,0 Н; R_E= -107,0 Н.

Принцип возможных перемещений

Пример Д10. Механизм (рис. Д10а), расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна B, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами. К ползуну В прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c, к стержням 1 и 4 приложены пары сил с моментами М₁ и М₂ соответственно.

Дано: , l₁ = 0,4 м, l₄ = 0,6 м, AE = ED, c = 100 Н/см, М₁ = 200 Нм, М₂ = 150 Нм.

Определить: деформацию пружины при равновесном механизме.

Указания. Задача – на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений. Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т.е. одно независимое возможное перемещение. Для решения задачи нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элементарных работ всех действующих активных сил и пар на этом перемещении и приравнять ее нулю. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.

Чтобы найти , надо из полученного условия равновесия определить силу упругости F. На чертеже эту силу можно направить в любую сторону (т.е. считать пружину или растянутой, или сжатой); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. Д10б). Для решения задачи воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому

, (1)

где – элементарная работа активных сил на соответствующих возможных перемещениях.

а) б)

рис. Д10

Изобразим действующие на механизм активные силы: силу упругости F (предполагая, что пружина растянута) и пары с моментом М₁ и М₂.

Неизвестную силу F найдем с помощью уравнения (1), а зная F и учитывая, что F = c, определим .

2. Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений звеньев, к которым приложены активные силы:

– поворот стержня 1 вокруг оси О₁,

– поворот стержня 4 вокруг О₂,

– перемещение ползуна (точки В).

Так как у механизма 1 степень свободы, то одно перемещение – независимое от других. Будем считать независимым перемещение и установим, какими тогда будут и , выразив их через ; при этом важно определить и направления и ,так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.

При расчетах учтем, что зависимость между возможными перемещениями здесь такая же, как между соответствующими скоростями звеньев механизма при его движении, и воспользуемся известными из кинематики соотношениями.

Сначала найдем и изобразим (направление определяется направлением ), получим:

=l₁, (2)

О₁А.

Теперь определим и изобразим , для этого найдем сначала .

O₂D.

Учитывая, что проекции и на прямую AD должны быть равны друг другу (иметь одинаковые модули и знаки), получим

и

. (3)

Тогда:

. (4)

Чтобы определить , найдем сначала . Для этого построим мгновенный центр скоростей Р стержня 2 (на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек A и D) и покажем направление поворота стержня 2 вокруг Р, учтя направления и . Так как PAD = PDA =, то APD – равносторонний и PE в нем – высота, поскольку AE = ED. Тогда перемещение , перпендикулярное PE, будет направлено по прямой AD (при изображении учитываем направление поворота вокруг центра P).

Воспользовавшись тем, что проекции и на прямую AD должны быть равны друг другу, получим:

. (5)

Наконец, из условия равенства проекций и на прямую EB находим и изображаем :

,

. (6)

3. Теперь составляем для механизма уравнение (1):

. (7)

Заменяя здесь и значениями (4) и (6) и вынося одновременно за скобки, получим:

. (8)

Так как , то отсюда следует, что

. (9)

Из уравнения (9) находим значение F и определяем .

Ответ: = 5 см. (Знак указывает, что пружина, как и предполагалось, растянута.)

Общее уравнение динамики

Пример Д11. Механическая система (рис. Д11) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса R₁ и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R₂ и r₂, радиус инерции относительно оси вращения ), а также из грузов 3, 4 и 5, прикрепленных к нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М₁, приложенной к блоку 1.

Дано: Р₁ = 0; Р₂= 40 Н; Р₃= 30 Н; Р₄= 20 Н; Р₅= 10 Н; М=10 Н×м; R₁ =0,2 м; R₂ = 0,3 м; r₂ = 0,15 м, = 0,2 м.

Определить: а₃ (трением пренебречь).

Указания. Задача - на применение к изучению движения системы общего уравнения динамики (принципа Даламбера - Лагранжа). Ход решения задачи такой же, как в задаче Д10, только предварительно надо присоединить к действующим на систему силам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что для однородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шкива), система сил инерции приводится к паре с моментом М^и = I_z , где I_z - момент инерции тела относительно оси вращения, - угловое ускорение тела; направление М^и противоположно направлению .

Рис. Д11

Решение.

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, …,5, соединенных нитями. Система имеет 1 степень свободы. Связи, наложенные на систему, – идеальные.

Для определения ускорения а₃ применим общее уравнение динамики:

, (1)

где – сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы;

– сумма элементарных работ сил инерции соответственно.

2. изображаем на чертеже активные силы: силы тяжести , и пару сил с моментом М.

Задавшись направлением ускорения а₃, изображаем на чертеже силы инерции и пару сил с моментом , величины которых равны:

;

(2)

3. Сообщаем системе возможное перемещение и, составляя уравнение (1), получим

(3)

Выразим все возможные переменные через :

(4)

Подставим величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к виду:

(5)

Входящие сюда величины , а₄, а₅ выразим через искомую величину а₃:

.

Затем, учтя, что , приравняем к нулю выражение, стоящее в (5) в квадратных скобках.

Из полученного уравнения найдем:

а₃ = .

Вычисления дают следующий ответ: а₃= -0,3 м/с². Знак «-» указывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. Д11.

Уравнения Лагранжа II рода

Пример Д12. Механическая система (рис. Д12) состоит из барабана 1 радиуса R, к которому приложена пара сил с моментом М, тележки 2 и катка 3 (барабан и каток – однородные цилиндры); веса всех тел равны Р₁, Р₂, Р₃; весом колес тележки пренебречь. Тележка соединена с барабаном намотанной на него нитью, а с катком – пружиной BD, коэффициент жесткости равен с. Система начинает движение из состояния покоя; пружина в этот момент не деформирована.

Дано: P₁ = P; P₂ = P; M = 2PR.

Определить: 1) x = f(t), где x – удлинение пружины (или перемещение центра D катка по отношению к тележке); 2) частоту k и период t колебаний.

Указания. Задача – на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет две степени свободы; следовательно, ее положение определяется двумя обобщенными координатами q₁ и q₂ и для нее должны быть составлены два уравнения.

Решение следует начать с выбора обобщенных координат, обозначив их q₁ =х и q₂ = или q₁ =х и q₂ = y. За координату х принять удлинение пружины, отсчитываемое в сторону того из тел 3, 4 или 5 системы, к которому пружина прикреплена; например, если пружина прикреплена к этому телу в точке В и ее длина в произвольный момент времени равна АВ, то х = АВ – l_o, где l_o – длина недеформированной пружины. За координату j принять угол поворота крайнего блока (этот блок может быть и невесомым), отсчитывая j от начального положения. Если в систему ни один блок не входит, а входят лишь тела 3 и 4, за координату y принять расстояние тела 4 от начального положения.

Решение.

1. Для решения задачи воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол поворота барабана φ и удлинение пружины x (q₁ = ; q₂ = x).

Рис. Д12

Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид:

; . (1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел:

Т = Т₁+Т₂+Т₃. (2)

Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется поступательно, а каток – плоскопараллельно, то:

; ;

, (3)

где

, .

Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости и . Очевидно, что , . Для определения V_D рассмотрим движение катка как сложное. Учитывая, что x определяет положение точки D по отношению к тележке, получим , где численно . Принимая во внимание, что при возрастании φ и x скорости и направлены в разные стороны и что точка E для катка – мгновенный центр скоростей, получим:

, .

Подставляя все найденные значения скоростей и значения I₀ и I_D в равенства (3) и учитывая, что P₁ = P₃ = P, P₂ = 2P, получим окончательно из (2) следующее выражение для T:

. (4)

Отсюда находим:

; ;

; . (5)

3. Теперь определим обобщенные силы Q₁ и Q₂ . Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести, равные , , силы упругости и , где численно = F = cx, и пару с моментом M.

а) Для определения Q₁ сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение , а x не изменяется, т.е. (пружина при таком перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают одинаковые перемещения и элементарная работа действующих сил будет равна:

.

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате, что:

,

. (6)

б) Для определения Q₂ сообщим системе возможное перемещение, при котором координата x получает приращение , а не изменяется, т.е. (барабан не поворачивается и тележка не перемещается). Тогда работу совершает только сила .

;

. (7)

Подставляя величины (5), (6) и (7) в уравнения (1), получим следующие дифференциальные уравнения движения системы:

,

. (8)

4. Для определения исключим из уравнений (8) . Получим дифференциальное уравнение вида:

,

где

, . (9)

Общее решение уравнения (9) имеет вид x = x₁+x₂, где x₁ – общее решение однородного уравнения , т.е.

.

А x₂ – частное решение уравнения (9), которое будем искать в виде x₂ = A = const. Подставляя x₂ в (9), получим . Таким образом, общее решение уравнения (9) имеет вид:

. (10)

Продифференцировав уравнение (10), получим:

. (11)

По начальным условиям при t = 0, x = 0, (движение начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформирована).

Подставляя эти величины в уравнение (10) и в уравнение (11), найдем из них, что , .

Окончательно получаем искомую зависимость x = f(t) в виде:

, (12)

где значения a и k² даются последними двумя равенствами из (9). Таким образом, центр катка D совершает по отношению к тележке колебания, закон которых дает равенство (12). Частота k и период этих колебаний:

; . (13)

---

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Строительная механика Сопротивление материалов

Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

00:00:00