Лекции по динамике

 

Главная

Лекция 9. Исследование положений равновесия механических систем.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Условия равновесия механических систем.

2. Устойчивость равновесия.

3. Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости.

Изучение данных вопросов необходимо для изучения колебательных движений механической системы относительно положения равновесия в дисциплине «Детали машин», для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Сопротивление материалов».  

 

Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания - это повторяющиеся движения механической системы  относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).

Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

 

Условия равновесия механических систем.

Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

где   - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;

s  - число обобщенных координат в механической системе.

Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.

Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.

 

Устойчивость равновесия

Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Рассмотрим это определение.

Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q1, q2,..., qs отсчитывать от положения равновесия системы:

 где 

Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа  можно найти такое другое число  , что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать : 

значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят .

 

 Иными словами, положение равновесия системы q1 = q2 = ...= qs  = 0 называется устойчивым, если всегда можно найти такие достаточно малые начальные значения , при которых  движение системы  не будет выходить из любой заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия . Для системы с одной степенью свободы устойчивое движение системы можно наглядно изобразить в фазовой плоскости (рис.1). Для устойчивого положения равновесия движение изображающей точки, начинающееся в области [], не будет в дальнейшем выходить за пределы области .

image032

Рис.1

 

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если с течением времени система будет приближаться  к  положению равновесия, то есть

Определение условий устойчивости положения равновесия представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому ограничимся простейшим случаем: исследованием устойчивости равновесия консервативных систем .

Достаточные условия устойчивости положений равновесия для таких систем  определяются теоремой Лагранжа - Дирихле: положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум.

Потенциальная энергия механической системы определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия равнялась нулю:

П(0)=0.

Тогда для системы с одной степенью свободы достаточным условием существования изолированного минимума, наряду с необходимым условием (2), будет условие

Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и П(0)=0, то в некоторой конечной окрестности этого положения

П(q)=0.

Функции, имеющие постоянный знак и равные нулю только при нулевых значениях всех своих аргументов, называются знакоопределенными. Следовательно, для того, чтобы положение равновесия механической системы было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этого положения потенциальная энергия была положительно определенной функцией обобщенных координат.

Для линейных систем и для систем, которые можно свести к линейным при малых отклонениях от положения равновесия (линеаризовать), потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат

где   - обобщенные коэффициенты жесткости.

Обобщенные коэффициенты  являются постоянными числами, которые могут быть определены непосредственно из разложения потенциальной энергии в ряд или по значениям вторых производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам в положении равновесия:

Из формулы (4) следует, что обобщенные коэффициенты жесткости симметричны относительно индексов

Для того, чтобы выполнялись достаточные условия устойчивости положения равновесия, потенциальная энергия должна быть положительно определенной квадратичной формой своих обобщенных координат.

В математике существует критерий Сильвестра, дающий необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичных форм: квадратичная форма (3) будет положительно определенной, если определитель, составленный из ее коэффициентов, и все его главные диагональные миноры будут положительными, т.е. если коэффициенты  будут удовлетворять условиям

.   .   .   .   .

В частности, для линейной системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия и условия критерия Сильвестра будут иметь вид

Аналогичным образом можно провести исследование положений относительного равновесия, если вместо потенциальной энергии ввести в рассмотрение потенциальную энергию приведенной системы.

 

Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости

 

image061

Рис.2

 

Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB, которая стержнем OO1 соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без трения  и связан с точкой A трубки пружиной (рис.2). Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l2= 1 м, длина стержня l1 =0,5 м. длина недеформированной пружины l0 = 0,6 м , жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m2 = 2 кг , стержня - m1 = 1 кг и шарика - m3 = 0,5 кг. Расстояние OA равно l3   =  0,4 м.

Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту его центра тяжести над плоскостью, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Пусть потенциальная энергия равна нулю в плоскости, проходящей через ось вращения стержня OO1 , тогда для сил тяжести

Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации

Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений.

Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы (5) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов.

Решая систему трансцендентных уравнений (5), получаем два возможных положения равновесия:

Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости.

Тогда для первого положения равновесия

Воспользуемся критерием Сильвестра

Для второго найденного положения равновесия

Таким образом, первое положение равновесия устойчиво, второе - неустойчиво.

 

Вопросы для самопроверки

- Каков вид условий равновесия сил, имеющих потенциал?

- Каким может быть состояние покоя механической системы?

- Каков критерий устойчивости состояния покоя механической системы, устанавливаемый теоремой Лагранжа-Дирихле?

- Как установить вид состояния покоя механической системы с одной степенью свободы в том случае, если

- Каков порядок исследования состояния покоя механической системы на устойчивость?  

- Какое движение механической системы называется возмущенным?

- Какое равновесие системы называется: а) устойчивым; б) неустойчивым; в) асимптотически устойчивым?

- Каким свойством обладает потенциал консервативных сил в положении равновесия?

- Что называется потенциальным барьером? Потенциальной ямой?

- Сформулируйте теорему Ляпунова.

- Что такое уравнения первого приближения?

- Сформулируйте теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов