Теоретическая механика - наука опытная

 

Главная

Введение. История науки.

 

1. Введение

Наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел называется механикой. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик и с развитием этой науки в ней появился целый ряд самостоятельных областей, связанных с изучением механики твердых деформируемых тел, жидкостей и газов. К этим областям относятся теория упругости, теория пластичности, гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика и ряд разделов так называемой прикладной механики, в частности: сопротивление материалов, статика сооружений (строительная механика), теория механизмов и машин, гидравлика, а также многие специальные инженерные дисциплины. Однако во всех этих областях наряду со специфическими для каждой из них закономерностями и методами исследования опираются наряд основных законов или принципов и используют многие понятия и методы, общие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов и составляет предмет так называемой теоретической (или общей) механики.    

Механическим движением называют происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел. Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация). 

Примерами механического движения в природе являются движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения и т.п., а в технике – движение различных наземных или водных транспортных средств и летательных аппаратов, движение частей всевозможных машин, механизмов и двигателей, деформация элементов тех или иных конструкций и сооружений, течение жидкости и газов и многое другое. Примерами же механических взаимодействий являются взаимные притяжения материальных тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся (или соударяющихся) тел, воздействия частиц жидкости и газа друг на друга и на движущиеся или покоящиеся в них тела и т.д. 

Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тела и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.

Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил необязательно, достаточно знать  только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тела.

Теоретическая механика построена на законах И.Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета).

В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто инерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно второстепенно.

В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики – понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело, и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки.

Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т.е. деформируются, но во многих  случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты.

Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса.

К сожалению, теоретическую механику, изучают и применяют практически лишь инженеры, т.е. знают ориентировочно один из ста человек населения и надо ясно представлять реальную общественную ситуацию:  одинаково звучащим словом «теоретический» отражены слишком различающиеся понятия - для подавляющего большинства населения слово «теоретический» имеет широкий диапазон значений, больше с негативным, чем позитивным оттенком. Это нашло отражение в толковых словарях.  В [1] читаем: теоретизировать – заниматься теоретическими вопросами, создавать теорию; рассуждать на отвлечённые темы, без пользы для дела;  теоретический – не опирающийся на реальность, на практические возможности; теоретичный – отвлечённый, абстрактный, не находящий практического применения.

К теоретической механике такие толкования не относятся, а по отношению к её преподавателям и пользователям – обидны, оскорбительны, унизительны. Приходится оправдываться и пояснять, что теоретическая механика – это не уфология с астрологией, не метеорология и даже не физика. Предсказания, основанные на методах теоретической механики, практически достоверны. 

В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражении и в настоящем курсе.

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия. В дальнейшем под равновесием материального тела подразумевается его покой относительно некоторой выбранной системы отсчета, т.е. рассматривается относительное равновесие и покой.  

В кинематике движение тел рассматривается с чисто геометрической точки зрения, т.е. без учета силовых взаимодействий между телами. Недаром кинематику называют иногда «геометрией движения», включающей, конечно, понятие времени. Основными характеристиками движений в кинематике являются: траектория, пройденный путь, скорость и ускорение движения.  

В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса.       

 

2. Об истории науки

Возникновение и развитие механики как науки неразрывно связано с историей развития производительных сил общества, с уровнем производства и техники на каждом этапе этого развития.

В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинениях одного из великих ученых древности Архимеда (287-212 г. до н.э.).

Развитие динамики начинается значительно позже. В XV-XVI столетиях возникновение и рост в странах Западной и Центральной Европы буржуазных отношений послужили толчком к значительному подъему ремесел, торговли, мореплавания и военного дела (появление огнестрельного оружия), а также к важным астрономическим открытиям. Все это способствовало накоплению большого опытного материала, систематизация и обобщение которого привели в XVII столетии к открытию законов динамики. Главные заслуги в создании основ динамики принадлежат гениальным исследователям Галилео Галилею (1564-1642 гг.) и Исааку Ньютону (1643-1727 гг.). В сочинении Ньютона «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г, и были изложены в систематическом виде основные законы классической механики (законы Ньютона).

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике аналитических методов, т.е. методов, основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л.Эйлером (1707-1783 гг.) Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж.Даламбера (1717-1783 гг.), предложившего свой известный принцип решения задач динамики,  и Ж.Лагранжа (1736-1813 гг.), разработавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. В настоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными.

Кинематика, как отдельный раздел механики, выделилась лишь в XIX в. под влиянием запросов развивающегося машиностроения. В настоящее время кинематика имеет и большое самостоятельное значение для изучения движения механизмов и машин.

В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М.В.Ломоносова (1711-1765 гг.), а также творчество Л.Эйлера, долгое время жившего в России и работавшего в Петербургской академии наук. Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей механики, прежде всего должны быть названы: М.В.Остроградский (1801-1861 гг.), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики; П.Л.Чебышев (1821-1894 гг.), создавший новое направление в исследовании движения механизмов; С.В.Ковалевская (1850-1891 гг.), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела; А.М.Ляпунов (1857-1918 гг.), который дал строгую постановку одной из фундаментальных задач механики и всего естествознания – задачи об устойчивости равновесия и движения и разработал наиболее общие методы ее решения; И.В.Мещерский (1859-1935 гг.), внесший большой вклад в решение задач механики тел переменной массы; К.Э.Циолковский (1857-1935 гг.), автор ряда фундаментальных исследований по теории реактивного движения; А.Н.Крылов (1863-1945 гг.), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопа и гироскопических приборов.

Особое значение для дальнейшего развития механики в нашей стране имели труды Н.Е.Жуковского (1847-1921 гг.), заложившего основы авиационной науки,  и его ближайшего ученика основоположника газовой динамики С.А.Чаплыгина (1869-1912 гг.). Характерной чертой творчества Н.Е.Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач, примером чему служат многие его труды по динамике самолета, разработанная им теория гидравлического удара в трубах и др. Большое влияние идеи Н.Е.Жуковского оказали и на преподавание механики в высших технических учебных заведениях.            

 

3. Основные составляющие теоретической механики

ТМ = ОФ + Т + М,                                                          

где ТМ - теоретическая механика;

       ОФ - её опорные факты; 

       Т -  терминология;

       М - методология.

M = MM = MO + MT,                                                       

где ММ - разнообразные математические мостики, обеспечивающие умозрительные (за письменным столом) переходы от математических описаний одних фактов теоретической механики к другим;

        МО - математические операции;

        МТ - мнемотехника (мнемоника) – совокупность систем обозначений, правил, приёмов и прочего, облегчающих запоминание нужных сведений.

Теоретическая механика – это спрессованный опыт человечества в области механических явлений.

 

4. Примеры опорных фактов теоретической механики

 

4.1 Правило равновесия рычага и золотое правило механики

Правило равновесия рычага формулировали ещё Аристотель (384-322 гг. до н.э.) и его ученики - в трактате «Механические проблемы».

Трактат имеет 36 глав. Предметом рассмотрения являются гребное весло, руль и парус; лебёдка, метательная машина и колесо колесницы; клин, топор, весы; рассматривается равновесие нагруженного блока и прочие устройства того времени, вплоть до различных щипцов (медицинских, для орехов). Рассмотрение проблем начинается с общего теоретического результата, изложенного в первой главе: «Движимый груз имеет к движущему грузу отношение, обратное отношению длин плеч, ибо всегда, чем далее нечто отстоит от точки опоры рычага, тем легче оно двигает»  [2, С. 19-20].

Правило равновесия рычага при создании машин и устройств широко использовал и Архимед (287-212 гг. до н.э.).

У Аристотеля и Архимеда просматриваются зачатки и кинематического метода подхода к решению задач статики (прообраза сегодняшнего «Принципа возможных перемещений»). В более развитой форме это просмат-ривается в «Книге Карастун» арабского учёного VIII в. Табит Бен Кура. Практически ясное изложение золотого правила механики, в терминах и литературном стиле того времени, мы находим в трактате «О науке механике» (1649 г.) Галилео Галилея – «расстояния, которые бы прошли тела в одинаковые промежутки времени, относятся друг к другу обратно их весам» [3, С. 43].

Человечество и сегодня пользуется этими фундаментальными, до сих пор никем не подвергшимися сомнению, правилами. Подобные научные результаты и являются опорными фактами теоретической механики.


4.2. О вечных двигателях

Одним из широко используемых сегодня опорных фактов теоретической механики является «Закон сохранения полной механической энергии». Его появление во многом обусловлено имевшим место в обществе настроением создавать «вечные двигатели».

Идея о возможности создания «perpetuum mobile» появилась в XII в. Упоминает о нём в своём трактате индийский математик и астроном Бхаскар Ачарья (1114-1185 гг.). Пропагандировал работу над созданием вечных двигателей Роджер Бэкон (1214-1292 гг.). До наших дней дошла «Книга рисунков» (1235-1240 гг.) французского инженера и архитектора Виллара д’Оннекура, где вечный двигатель предложен в форме колеса с шарнирно прикреплёнными к его ободу молоточками.

По поводу невозможности создания вечного двигателя, опираясь на данные науки того времени (в основе которых, как и сегодня лежали опытные данные), высказывали своё мнение многие крупные учёные: Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.): «Искатели вечного движения, какое количество пустейших замыслов пустили вы в мир»! Кардано (1501-1576 гг.): «Нельзя устроить часы, которые заводились бы сами собою и сами поднимали гири, движущие механизм». Галилей (1564-1642 гг.): «Машины не создают движение; они только его превращают. Кто надеется на другое, тот ничего не понимает в механике». Примерно такие же высказывания имеются в работах Стевина (1548-1620 гг.) и Уилкинса (1599-1658 гг.).

Зачатки современного научного обоснования бесперспективности работ по созданию вечных двигателей имеются у Гюйгенса (1629-1695 гг.): «Тело не может под действием тяжести подняться выше той высоты, с которой оно упало». Перечень фамилий учёных,  писавших о бесперспективности занятий по изобретению вечного двигателя продолжим, но пока две констатации:

- экспериментально-теоретические данные и назойливость «изобретателей» вечных двигателей вынудили Парижскую Академию наук в 1775 г. принять официальное постановление, что впредь она «не будет рассматривать никакой машины, дающей вечное движение», ибо «создание вечного двигателя абсолютно невозможно»;

- и всё же, несмотря на созревшую в обществе ясность в рассматриваемом вопросе, по данным Британского патентного бюро с 1850 по 1903 гг. было подано около 600 заявок на вечные двигатели; аналогичная картина наблюдалась и в других странах. К сожалению, вопрос с изобретателями вечных двигателей не прост. Они встречаются и по сей день [4]. Десяток конкретных примеров из личной жизни может привести и автор данных строк.

Были случаи (например: Иоганн ОрфиреусXVIII в.; Джон Кили - XIX в.), когда удавалось убедить интеллектуальную часть общества в обратном (в их числе был даже царь Пётр Первый), но всегда выяснялось, что эти «создатели» вечных двигателей были  мошенниками.

При этом заметим: вопрос был не прост. Это сейчас есть чёткие количественные критерии, позволяющие пояснять бесперспективность работ над созданием «perpetuum mobile». Тогда этого не было - ныне используемые понятия и количественные характеристики (потенциальная и кинетическая энергии, кинетический потенциал; консервативные и неконсервативные системы) были разработаны лишь к середине XIX в.; даже термин «энергия» был введен только в 1807 г. Т. Юнгом (1773-1829 гг.), вошёл же он в жизнь позже - благодаря стараниям У.Ренкина (1820-1872 гг.) и У. Томсона-Кельвина (1824-1907 гг.). Причём, закон о сохранении механической энергии лишь наполовину решал проблему; она была полностью закрыта лишь после того, как стал  известен механический эквивалент тепловой энергии (4190 Нм/ккал) и другие результаты С. Карно (1796-1832 гг.), Р. Майера (1814-1878 гг.), Д. Джоуля (1818-1889 гг.) и ряда других учёных XIX в. – когда появился закон сохранения энергии в широком плане, учитывавшем не только кинетическую и потенциальную, но тепловую, магнитную, электрическую, звуковую и световую энергии.

 

4.3. О законе равенства действия и противодействия

Действие и противодействие образуют систему противоположных сил.

При построении теории этот опорный факт обычно принимается в качестве высвеченной аксиомы.

Иногда говорят: «Аксиома – положение, принимаемое без доказательств». Подобные высказывания нельзя считать удачными.

1654 г. Магдебург. Бургомистр Отто фон Герике демонстрирует свойство вакуума – опыт, обошедший печать всех развитых стран мира:  два медных полых полушара соединены между собой по экваториально-кольцевой поверхности; из внутренней полости образовавшейся сферической оболочки выкачан воздух (через краник); оболочки-полусферы растягивают (и не могут разъединить) две восьмёрки лошадей (т  не восемь против одной, или двух, или четырёх,  а восемь против восьми).

Ещё и сегодня мы наблюдаем народные состязания по перетягиванию каната. И в этом случае всем, из непосредственных наблюдений, ясна необходимость равенства числа соперников по обоим концам каната.

Справедливость закона противодействия можно наблюдать также на примере одинаковости деформаций буферных пружин двух взаимодействующих вагонов (как при их сцепке, так и при движении поезда).

Законом о противодействии Человечество пользуется не менее трёх веков. Во всяком случае, уже в «Математических началах натуральной философии» (И. Ньютон, 1687 г.) мы находим: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе: взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны. Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется.  Если кто нажимает пальцем на камень (здесь Ньютон повторяет рассуждения Г. Галилея), то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и обратно … она с равным усилием оттягивается к камню».

Силы действия и противодействия могут быть контактными (от непосредственного соприкосновения тел) и передаваемыми через поля – гравитационные, магнитные, электрические, электромагнитные и др. Далее  И. Ньютон пишет: «Относительно притяжений дело может быть изложено вкратце следующим образом … Я производил опыты с магнитом и железом: если их поместить каждый в отдельный сосуд и пустить плавать на спокойной воде так, чтобы сосуды взаимно касались, то ни тот, ни другой не приходят в движение, но вследствие равенства взаимного притяжения сосуды испытывают равные давления и остаются в равновесии».

Закончено рассмотрение ещё одного, широко применяемого опорного факта теоретической механики. Разве можно сказать, что это некое надуманное теоретическое положение?  Конечно нет – это легко проверяемый опытный факт, с положительным результатом, прошедший многовековую проверку всеми странами и народами.

 

4.4. О законе падения тел

Он отражается математическим соотношением

где s1 и s2 - пройденные телом расстояния к моментам времени t1 и t2.

В XVI в. правильность отображения закона движения падающих тел и движущихся по гладким наклонным желобам математическим соотношением (1) была далеко не очевидной. Так, известный итальянский учёный Джамбатиста Бенедетти (1530 - 1590 гг.) в «Книга различных математических и физических рассуждений» (1585 г.) считал, что скорость падения свинцового шара должна быть в 11 раз больше деревянного,  а Рено Декарт в своих записях примерно 1620 г. приводил соотношение

Дать доказательства правильности описания формулой (1) движения свободно падающих и движущихся по наклонным желобам тел удалось лишь Галилео Галилею (1638 г.) – в «Беседы и математические доказательства ...».

При этом заметим: опыты Галилея с бросанием тел с Пизанской башни (примерно 1589-1592 гг.) не дали ему надёжных результатов – по причине отсутствия точных измерителей коротких промежутков времени; но он нашёл выход из положения – перешёл на опыты с бронзовым шариком, скользящим вдоль гладкого жёлоба на наклонённой под различными углами к горизонту доске. Хотя промежутки времени по-прежнему измерялись количеством вытекавшей из сосуда воды, их удалось удлинить примерно в 5-15 раз, что, в сочетании с возможностью менять угол наклона доски с жёлобом, оказалось достаточным для получения надёжных экспериментальных данных.

Почти 400 лет все в мире пользуются соотношением (1) и против этого не появилось никаких возражений.

 

4.5. Об открытии восьмой и девятой планет Солнечной системы

Считается, что одним из наиболее значимых достижений небесной механики, а значит и теоретической механики, является открытие планеты «Нептун».

С незапамятных времён были известны шесть планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн.

13 марта 1781 г. английский астроном В. Гершель обнаружил в телескоп перемещающееся на небесной сфере светило. Вначале он принял его за комету.  Однако вычисления показали, что обнаруженное небесное тело движется вокруг Солнца почти по окружности, находясь примерно вдвое дальше от Солнца, чем Сатурн. Оказалось: это большая планета Солнечной системы. Седьмую планету назвали Уран.

Сопоставление наблюдаемого (фактического) движения Урана с теоретически предсказываемым заметно расходились: в 1830 г. – на 20''; в 1840 г. – на 1,5';  в 1844 г. – на 2'.

К этому времени методы теоретической механики зарекомендовали себя высокой доверительностью прогнозов. Поэтому и было высказано предположение, что на большем, чем Уран, удалении от Солнца имеется ещё планета; при расчётах нужно учитывать и её силовое действие (так называемое «возмущение») на Уран.

При помощи простых наблюдений в телескоп обнаружить новую планету равносильно, что найти иголку в стоге сена. Поэтому и возникла задача: используя методы теоретической механики определить орбиту гипотетической восьмой планеты.

Французский астроном Леверье (1811-1877 гг.) предположил, что теории Ньютона и Коперника (и в целом методы теоретической механики) верны, но неучтена ещё одна, неизвестная, восьмая планета, близко расположенная к Урану. После соответствующих вычислений Леверье указал её место на небесной сфере, но не имея качественной наблюдательной техники, сообщил об этом в Берлинскую обсерваторию. В день получения письма (23 сентября 1846 г.) немецкий астроном Галле в указанной точке небесной сферы и обнаружил восьмую планету Солнечной системы. Её назвали Нептун.

В 1915 г. американский астроном Ловелл (1855-1916 гг.) предсказал существование ещё одной планеты Солнечной системы. Его предсказание также оказалось пророческим – 18 февраля 1930 г. она была обнаружена. Девятую планету Солнечной системы назвали Плутон.

Но почему Нептун был обнаружен сразу, а Плутон лишь через 15 лет?  По той причине, что Нептун на небесной сфере смотрится как восьмая звёздная величина, а Плутон является 15-й звёздной величиной и долго не мог быть обнаружен по причине несовершенства приборов и методов обработки изображений скоплений небесных тел на фотографиях.

 

4.6. О периоде колебаний маятника

Люди издавна хотели иметь удобные в пользовании часы. Но если в быту население приспособилось проводить жизнь при отсутствии точных показателей времени, то вопросы жизнеобеспечения на кораблях настоятельно требовали их создания.  Поэтому бурное развитие мореплавания в средневековье явилось громадным материальным стимулирующим фактором для разработки точных и удобных в пользовании часов.

Случилось так, что практика пошла по пути создания маятниковых часов.

Если говорить об их истории, то можно отметить, что часы жёлудеподобной формы в 1490 г. делал в Нюрнберге Петер Хеле, примерно в то же время в Кенигсберге - Ганс Ионс.

Но точность часов того времени (и карманных, и башенных) примерно до 1660 г. была неудовлетворительной - они спешили или опаздывали не менее чем на час в сутки.

И лишь благодаря проведенным серьёзным исследованиям законов движения маятников удалось неточность хода часов снизить до нескольких минут, а затем и секунд в сутки.

В создании теории маятников заметно участие Галилея. Он, моделируя математический маятник (это нить, верхний конец которой закреплён, а к нижнему прикреплён груз), подвешивал различные по массе и плотности шары и правильно установил независимость периода колебаний от этих факторов. Что же касается явления изохронности (независимости периода колебаний от начальных условий – от начальной угловой координаты и скорости), то здесь им был получен результат, требовавший дальнейшего уточнения – Галилей считал, что колебания математического маятника изохронны не только при малых, но и больших углах размаха.

Его исследовательские работы в области колебаний маятников продолжило молодое поколение учёных. Большой вклад в повышение точности часов внесли Роберт Гук и Томас Томпсон (последний – больше практик, подхватывавший новейшие научные достижения в области совершенствования часов и завоевавший, поэтому, славу лучшего часовщика мира того времени).

Но наибольшие заслуги в решении проблемы точности хода часов у голландского учёного Христиана Гюйгенса. В частности, в 1657 г. он от Правительства Голландии получил патент на маятниковые часы со «свободным пуском», в 1658 г. опубликовал брошюру «Часы» (с подробным описанием их конструкции) и уточнил результаты исследований Галилея относительно изохронности колебаний математического маятника, т.е. он показал, в том числе и опытами, что более точной формулой для определения периода колебаний математического маятника является не

С этими опытными результатами в полном согласии находятся результаты, предсказываемые сегодня методами теоретической механики.

 

4.7. О законе инерции

Этот опорный факт теоретической механики находится на обозрении мировой научной общественности не менее 350 лет:

- без чётких формулировок, но имеется он в «Вопросах, относящихся к книгам “Физика”» (1545 г.) испанца Доминико Сото (1494-1560 гг.);

- ясно сформулирован в «Беседах и математических доказательствах ...» (1638 г.) Галилео Галилея: «Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то  ... движение это является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца»;

- у Христиана Гюйгенса, в качестве «гипотезы» содержится в трактате «Маятниковые часы ...» (1673 г.);

- в «Математических началах» (1687 г.) И.Ньютона использован в форме закона-аксиомы: «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменять это состояние».

За прошедшие 3,5 века не появилось ни одного экспериментального свидетельства, которое бы противоречило закону инерции (являющемуся одним из наиболее важных опорных фактов теоретической механики).

 

4.8. О принципе относительности Галилея

Если быть точным, то закон инерции справедлив не в любой системе отсчёта. Но такие системы отсчёта, называемые инерциальными, имеются, и их множество. Первым опытным путём это неопровержимо доказал Галилей.

Вот описание автором этого результата (в «Послании к Инголи», а в 1632  г. повторенное в «Диалоге»):

«В большой каюте под палубой какого-либо крупного корабля закройтесь с другими наблюдателями. Устройте так, чтобы в ней были мухи, бабочки и другие летающие насекомые, аквариум  с плавающими в нём рыбками. Возьмите также сосуд с узким горлышком и прилаженным над ним другим сосудом, из которого вода бы капала, попадая в узкое горлышко нижнего сосуда.

И пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте внимательно, как эти насекомые будут с одинаковой скоростью летать по каюте в любом направлении, вы увидите, как рыбки будут двигаться безразлично в направлении какой угодно части аквариума. Все капли воды падая будут попадать в стоящий внизу сосуд с узким горлышком. И вы сами, бросая какой-либо предмет вашему другу, не должны будете бросать его с большим усилием в одну сторону, чем в другую, если только расстояние одинаково. А когда вы начнёте прыгать двумя ногами с места, то на одинаковые расстояния сместитесь по всем направлениям.

Когда вы хорошо заметите себе все эти явления, дайте движение кораблю, и притом с какой угодно скоростью.  Тогда, если только движение будет равномерным (в условиях отсутствия качки), вы не заметите ни малейшей разницы во всём, что было описано; и ни по одному из этих явлений, ни по чему-либо, что станет происходить с вами самими, вы не сможете удостовериться движется ли корабль или стоит неподвижно:  прыгая вы будете смещаться .... (далее идёт повторение написанного выше)».

Замечания. Упомянутый Галилеем Франческо Инголи был высоко образованной по тем временам личностью, знатоком права и полиглотом, автором книги «Рассуждение относительно места и неподвижности Земли, направленное против системы Коперника», в котором, ссылаясь на известного астронома Тихо Браге, говорит об одном «опыте», подтверждающем неподвижность Земли: если корабль быстро плывёт, то камень, падающий с вершины мачты, отстаёт и падает далеко от подножия мачты в направлении к корме. В «Послании к Инголи» Галилей заявляет, что не верит Тихо Браге. Он (Галилей) убеждён, что Тихо Браге таких опытов не проводил. Сам же он, Галилей, произвёл такие опыты и пришёл к результату, что камень падает к подножию мачты. К сведению: в науке того времени было очень много умозрительно-надуманного, не основанного на опытных данных, т.е. в отличие от сегодняшнего дня, в элитарной части общества в Средневековье отношение к опыту было пренебрежительно-высокомерным, не достойным видом занятий. В «Диалоге» Галилей об этом пишет так: «Если им нужно приобрести познание о действии сил природы, они не сядут в лодку (речь идёт о сопротивлении воды) и не подойдут к луку или артиллерийскому орудию, а удалятся в свой кабинет и начнут перерывать указатели и оглавления, чтобы найти, не сказал ли чего по этому поводу Аристотель; затем ... они уже больше ничего не желают и не придают цены тому, что можно узнать о данном явлении».

Итак, опорный факт теоретической механики, в котором утверждается наличие множества инерциальных систем отсчёта, также имеет серьёзное опытное обоснование, подтверждённое трёхвековой проверкой временем.

 

4.9. О неинерциальности Геоцентрической системы отсчёта

Галилей доказал: одной из инерциальных систем отсчёта является Геоцентрическая (система координат, связанная с Землёй; см. подраздел 4.8). Но практикой доказано и другое: инерциальной является и Гелиоцентрическая система (её начало совпадает с центром масс Солнечной системы, а оси направлены на звёзды, взаимное положение которых на небесной сфере неизменно в течение тысячелетий). Эту систему отсчёта использовали Леверье и Ловелл, теоретически предсказывая положения неизвестных, затем открытых, планет Нептун и Плутон (здесь см. подраздел 4.5). Сегодня, принимая за инерциальную Гелиоцентрическую систему отсчёта, определяют траектории искусственных спутников Земли столь точно, что координаты спутника на небесной сфере на несколько месяцев и даже лет вперёд сообщаются наблюдательным пунктам всего земного шара и эти предсказания выполняются безукоризненно в [5, с. 12].

Вдумчивый читатель заметил нелогичность: с одной стороны, существует множество инерциальных систем отсчёта и все они перемещаются друг относительно друга так, что их оси во времени сохраняют взаимную параллельность (т.е., если вначале X1↑↑X2; Y1↑↑Y2; Z1↑↑Z2, то эта параллельность имеет место и в любой другой момент времени).

С другой стороны, инерциальными являются Гео-  и Гелиоцентрическая системы. Но ведь нельзя не заметить 24-часовой цикл смены дня ночью, т.е.  налицо факт, что Земля относительно Гелиоцентрической системы перемещается не поступательно!

В чём дело?  Не объясняется ли замеченное несоответствие внутренней противоречивостью теоретической механики? Нет! Наоборот, замеченная на первый взгляд противоречивость с высочайшим уровнем точности количественно объясняется теоретической механикой. Дело в том, что инерциальная система отсчёта – это идеал, а Геоцентрическая и Гелиоцентрическая системы – лишь приближения к нему. Но какая из систем отсчёта, Гео- или Гелиоцентрическая, ближе расположена к идеальной инерциальной системе отсчёта? Оказывается: для подавляющего большинства инженерных расчётов за инерциальную достаточно принимать Геоцентрическую систему. При необходимости проведения более точных расчётов, за инерциальную следует принимать Гелиоцентрическую систему. Причём, по состоянию на сегодняшний день её можно считать инерциальной системой отсчёта с любой степенью точности.

Сделанное утверждение имеет богатое опытное основание.

Если руководствоваться вышесказанным утверждением, то окажется, что ускорение свободного падения тела равно не просто 9,81 м/с2, а является величиной, зависящей от его расстояния до центра Земли и от географической широты – на экваторе равно примерно 9,78 м/с2, на полюсе  9,83 м/с2.

В 1671 г. Парижская академия наук командировала в Кайену (расположена в Южной Америке, близ Экватора) академика Жана Ришара, который взял с собой точные (по тем временам) маятниковые часы. В Париже они шли точно, а в Кайене вдруг начали систематически отставать - на две минуты в сутки. Жан Ришар восстановил точность хода этих часов, укоротив длину маятника на 2,8 мм.

По возвращении в Париж (1673 г.) часы вновь пошли неточно, с тем лишь отличием, что если раньше отставали, то теперь начали спешить - на те же две минуты в сутки! После восстановления первоначальной длины маятника, часы вновь начали показывать точное время.

Жан Ришар – академик и, естественно, столь неожиданный факт стал достоянием научного мира. Первоначально нарушение точности хода часов объясняли температурными деформациями длины маятника (на экваторе среднесуточная температура выше, чем в Париже). Но такие качественные объяснения никак не согласовывались с количественными. Некоторое время спустя наблюдаемый ранее факт был объяснён правильно - разной величиной ускорения свободного падения в Париже и на экваторе.

В настоящее время имеется целая область прикладного знания - гравиметрия [6, 7]. В ней, в частности, решаются задачи по предсказанию мест залегания полезных ископаемых (железная руда, туф, нефть, прочее) и обнаружению пустот на земной поверхности. Этот, вошедший в практику, метод научного предсказания основан на учёте весьма малых (порядка 9,810-8 м/с2) отклонений опытных значений ускорений свободного падения тел от средних значений, подсчитываемых в предположении, что Гелиоцентрическая система является инерциальной.

Если исходить из предпосылки, что инерциальной является Гелиоцентрическая система и учитывать вращение Земли, то опорные факты и методы теоретической механики приводят к предсказанию явления изменения относительно Земли плоскости колебаний математического маятника и к выводу о том, что отпущенный на высоте H шарик при отсутствии ветра должен в конце своего пути отклониться к востоку от линии отвеса на величину, определяемую приближённой формулой:

где ψ - широта местности;  H – высота, м.

Изменения относительно Земли плоскости колебаний математического маятника  впервые опытом доказал в 1661 г. Вивиани, затем в 1833 г. Бартолини и в 1850-1851 гг. Фуко. Если читателю придётся бывать в Санкт-Петербурге, то рекомендуем лично удостовериться во вращении Земли, посетив Исаакиевский собор (высота 101,58 м), в котором установлен маятник, с периодом примерно 20 с прочерчивающий острой своей частью на посыпанном песком полу соответствующие, постоянно поворачивающиеся (относительно пола), отрезки линий.

Некоторые опытные данные по отклонениям к востоку падающих тел приведены в таблице 1.

На Земном шаре военными успешно решаются задачи «стрельбы по целям». К сожалению, не только на учебных полигонах, но и в боевой обстановке. В основе теорий стрельб лежит также предпосылка о том, что Гелиоцентрическая система является инерциальной, а Земля вращается (вокруг оси  Северный полюс - Южный полюс) с равномерной угловой скоростью, соответствующей 1 обороту за 24 ч. Так называемая «поправка на вращение Земли» даже в артиллерии (тем более в ракетной технике) при стрельбе из дальнобойных систем равна 150-200 м. Лишне, по-видимому, говорить насколько этот теоретический результат подтверждён опытом.

 

Таблица 1

Наблюдатель, год,

место опытов

Широта

ψ

Число

опытов

Высота

Н,  м

Отклонения

к востоку,  мм

вычисления

опыт

Гуглиемини, 1791,

г. Болонья

40° 30'

16

78,3

11,3

19±2,5

Бенценберг, 1802,

г. Гамбург

53° 33'

31

76,34

8,7

9,0± 3,6

Бенценберг, 1804,

г. Шлеебуш

51° 25'

29

85,1

10,4

11,5±2,9

Рейх, 1831,

г. Фрайбург

50°53'

106

158,5

27,5

28,3±4,0

 

4.10. О внешней баллистике

Огнестрельная артиллерия появилась в Европе в XIV в. Считается, что первую попытку решения задачи о траектории ядер сделал итальянский математик Никколо Тарталья (1499 – 1557 гг.).

Траекторию центра масс ядер описывать параболой впервые предложил Галилей. На основе этого, его учеником Е. Торричелли, были составлены первые таблицы стрельбы.

Проводил соответствующие опыты и, на их основании, пытался учитывать сопротивление среды Х. Гюйгенс. Вопросами внешней баллистики занимались также И. Ньютон и И. Бернулли.

Экспериментально исследовал ряд проблем внешней баллистики Бенджамин Робинс. Его книгу «Новые основания артиллерии»  (1742 г.) на немецкий язык переводит Л. Эйлер (1745 г.) и, используя содержащийся в ней эспериментальный материал, вводит двухчленную формулу сопротивления (первый член пропорционален квадрату, второй – четвёртой степени скорости). Впоследствии он ограничивается лишь первым членом, на основе чего были составлены таблицы стрельбы, которые получили большое распространение и использовались в течение нескольких десятков лет.

Начиная с 60-х гг. XIX в. в европейских армиях вводится нарезная артиллерия. Впервые она была применена в 1866 г. во время войны между Пруссией и Австрией. Вследствие изменения формы снаряда (переход от ядер к продолговатым телам) и резкого увеличения скоростей их полёта старые законы сопротивления стали непригодны.

С целью определения законов сопротивления воздуха продолговатым снарядам специалисты проводят многочисленные полигонные стрельбы: в Англии Башфортом (1866-1870 гг.), в России Маевским (1868-1869 гг.); позднее такие стрельбы проводились и в других странах.

Но предметом нашего рассмотрения не является внешняя баллистика. Мы лишь показываем: корректный учёт количественных характеристик (в данном случае сил сопротивления) всегда подтверждал высокую прогнозную надёжность результатов, получаемых на основе использования опорных фактов и методов теоретической механики.

 

4.11. О прикладных механических науках

Автор данных строк солидарен с мнением крупного современного специалиста по теоретической механике и её приложениям А.А. Космодемьянским: посмотрите на содержание современных учебников и монографий по динамике аэропланов, теории космических полётов, гидравлическим расчётам водопроводов, теории стрельбы и бомбометания, теории корабля, теории автоматического регулирования и многих-многих других, и вам будет ясно, что на опорных фактах и методах теоретической механики покоится от 60 до 99 % реального профессионального содержания этих научных дисциплин – [5, с. 14].

Богатых историей примеров, подобных приведенным в подразделах 4.1-4.11 накоплено много. Однако несравненно большее их количество вошло в теоретическую механику незаметно - появились тогда, когда решение задач механики превратилось в повседневные занятия армии специалистов.  И автор данных методических указаний с чувством гордости за свой учебный предмет констатирует: до сих пор не отмечено ни одного опровержения результатов, корректно предсказывавшихся методами теоретической механики. Понятно, что если, к примеру, у кого-либо вдруг оказывалось, что xdx равен не 0,5x2+c, а положим 0,5x3+c ,  то это в счёт не идёт.

 

5. О терминологии

Сегодня теоретическая механика, как и элементарная геометрия, является конечным интеллектуальным продуктом человечества, обладающим высокими потребительскими качествами - ясность и краткость изложения, однозначность толкований, лёгкое запоминание и пр.

Но это достигнуто было не сразу. Ещё Ньютон (1643-1727 гг.) и его современники обходились без понятия «ускорение».

Нашей задачей не является всестороннее и широкое изложение истории развития терминологии теоретической механики. Но общее представление об этом иметь необходимо. Ограничиваемся одной иллюстрацией.

Аристотель оперировал термином «вес», но принятого сегодня понятия «сила» не было и при Галилее. В 1650 г.: в статике «сила» - это вес груза и усилие человека или животного, в динамике – нечто влияющее на движение, именуемое также мощью, эффектом, достоинством, моментом; к тому же слово «сила» могло обозначать и работу;  был термин «импетус» и другие [8].

Вполне законченное, однозначное толкование понятие «сила» получило лишь в сочинениях Ньютона: «Сила - это мера механического взаимодействия между телами, отклоняющая данное тело от состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения»; «Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя  или равномерного прямолинейного движения». И далее: «Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остаётся. Тело продолжает потом удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение силы может быть различно: от удара, от давления, от центростремительной силы» [9].

Ведя речь об истории совершенствования терминологии, заметим также: к своему, более чем двухтысячелетнему совершенствованию методы теоретической механики продвигались, как правило, мелкими шажками. Пример: сегодня считается более удобной не «живая сила» (mV2), а кинетическая энергия (0,5mV2). Но за более чем двухтысячелетнее совершенствование терминология теоретической механики (это же касается и применяемых в ней математических методов) прошла огромный путь в своём развитии.  Сегодня терминология, в совокупности с другими составляющими теоретической механики, даёт ясность формулировкам, обеспечивает наличие малого количества и простоту математических выражений, высокую точность оценок (естественно, при высоких точностях задаваемых величин).

 

6. О методологии теоретической механики

Методология – это совокупность методов.

Метод (греч. metodos – путь к чему-либо) - это способ достижения цели, определённым образом упорядоченная действительность;  способ применения старого знания о приёмах рационального решения подобных задач для получения сведений о новом объекте или предмете исследований [10].

В разделе 3 уже указано: методы теоретической механики в основном включают в себя математические операции и мнемотехнику.

Математическую операцию следует рассматривать как содержание, сущность количественного преобразования, а мнемотехнику как различного рода носители информации, которые через элементы человеческих чувств (зрение, слух и пр.) правильно отображают это количественное преобразование в человеческом мозгу.

Различные мнемотехнические элементы (или их совокупности), предназначенные для одного количественного преобразования, называют эквивалентными по их приложению.

Например, эквивалентными по приложению являются различные математические записи векторного произведения:

В приведенном примере эквивалентные по приложению мнемотехнические элементы практически одинаковы по затратам времени на мысленное усвоение описываемого ими количественного преобразования.

Но есть эквивалентные по приложению мнемотехнические элементы, которые сильно разнятся между собою по времени мысленного усвоения описываемых ими количественных соотношений. В частности, привычное сегодня dx (введено Г.В. Лейбницем - в статье 1684 г.) имеет несомненное преимущество перед обозначением   (применявшимся Ньютоном).

Поскольку упомянуто имя Г.В.Лейбница, нельзя не отметить, что введенные им в употребление термины оказались настолько удачными, что сохранили своё значение до сегодняшнего дня. К ним, в частности, относятся «функция», «координаты», «алгебраические» и «трансцендентные» кривые; им впервые применены двойные индексы (a11, a12 и т.д., что удобно для обозначения элементов матрицы).

Если Вы, изучая кинематику, увидели символ V, то без дополнительных пояснений считайте, что речь идёт о линейной скорости движущегося объекта (V – это первая буква от латинского слова velocitas – скорость); если a, то считайте, что речь идёт о линейном ускорении объекта (acseleracio – ускорение); если встретились α, β, γ, то речь скорее всего идёт о каких-то углах; если VBA, то это скорость точки В относительно поступательно движущейся системы координат с началом во времени, совпадающим с точкой  А.

Но попробуйте, к примеру, угловую скорость тела обозначить буквой π. Вы наверняка заметите, что никто из окружающих Вас не понимает. Для них π - это число, равное примерно 3,14. Придётся долго, длинно пояснять и, не смотря на это, оставить в мозгах слушателей недоумённый, мучающий их вопрос «Зачем это сделано? Почему не привычная ω? Видимо я чего-то не понимаю».

Итак, остались в истории тяжёлые в понимании и дающие громоздкие теоретические построения ньютоновские «флюксии» и «флюенты», но приняты удобные алгебраические системы обозначений Лейбница, дифференциальное и интегральное исчисления, векторы, матрицы, тензоры.

Математические мостики – это найденные учёными совокупности тех математических процедур, алгоритмов, операций и прочего математического удобства, которые позволяют за письменным столом переходить от одних фактов теоретической механики к другим.

Методы теоретической механики позволяют, опираясь на пару десятков опорных фактов умозрительно получать другие известные механические факты (которых накоплено за тысячелетия огромное количество).

Более того (что важно для рассматриваемого случая) использование методов теоретической механики позволяет количественно предсказывать и те механические явления, которые ранее никем не наблюдались.

О роли методов в науке удачно высказались всемирно признанные физиолог И.П. Павлов, математик Г.В. Лейбниц, физик Л.Д. Ландау:

- «Метод - самая первая, основная вещь»;

- «На свете есть вещи поважнее самых прекрасных открытий, - это знание метода, которым они были сделаны»;

- «Метод важнее открытия, ибо правильный метод исследования приведёт к новым, ещё более ценным открытиям».

Центральным методом теоретической механики является аксиоматический. В связи с этим замечаем: аксиом множество и следует избавляться от существующего заблуждения, что теоретическую механику можно, построить, опираясь на конечное число аксиом (подробнее об этом см. в [12]).

Непродуктивные затраты интеллектуальных сил можно проиллюстрировать фрагментарно - на примере закона параллелограмма сил и скоростей.

Закон сложения скоростей был известен ещё Аристотелю (который рассматривал его как легко проверяемый закон природы). Но вот незначительный перечень учёных (приводим фамилии лишь крупнейших), тративших время на его «доказательства» [9, С. 40-41]): Д. Бернулли (1700-1782 гг.), И.Г. Ламберт (728-1777 гг.), Ж.Л. Даламбер (1717-1783 гг.), П.С. Лаплас (1749-1827 гг.), Дюшайла (1804 г.), Л. Пуансо (1777-1859 гг.), С.Д. Пуассон (1781-1840 гг.), О.Л. Коши (1789-1857 гг.), А.Ф. Мёбиус (1790-1868 гг.), М.В. Остроградский (1801-1862 гг.), А. Фосс (1901 г.), К.Л. Навье (1841 г.), В.Г. Имшенецкий (1832-1892 гг.), Ж.Г. Дарбу (1842-1917 гг.), Х.С. Головин (1889 г.), Н.Е. Жуковский (1847-1921 гг.), Ф. Шур (1856-1932 гг.), Г. Гамель (1877- 1954 гг.), А.А. Фридман (1888-1925 гг.) и др.

 

Список литературы

1. Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка / С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. - М.: Азъ, 1995. - 908 с.

2. Тюлина И.А. История механики / И.А. Тюлина, Е.Н. Ракчеев. - М.: МГУ, 1962. - 229 с.

3. Моисеев Н.Д. Очерки развития механики. - М.: МГУ, 1961. - 478 с.

4. Бродянский В.М. Вечный двигатель – прежде и теперь.- М.: Энергоатомиздат, 1989. – 256 с.

5. Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. - М.: Просвещение, 1969. - 256 с.

6. Огородова Л.В. Гравиметрия: Учеб. для вузов / Л.В. Огородова, Б.П. Шимбирев, А.П. Юзефович. - М.: Недра, 1978. - 326с.

7. Грушинский Н.П. Гравитационная разведка / Н.П. Грушинский, Н.Б. Сажина. - М.: Недра, 1988. - 364 с.

8. История механики (с древнегреческих времён до конца 18-го века) /Под общ. ред. А.Т. Григорьяна и И.Б. Погребысского. - М.: Наука, 1971. - 298 с.

9. Григорьян А.Т. История механики твёрдого тела / А.Т. Григорьян,    Б.Н. Фрадлин.- М.: Наука, 1982. - 94 с.

10. Шаршунов В.А. Как подготовить и защитить диссертацию: история, опыт, методика и рекомендации / В.А. Шаршунов, Н.В. Гулько. - Мн.: УП «Технопринт», 2004. - 460 с.

11. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - 254 с.

12. Игнатищев Р.М. Курс теоретической механики / Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский. - Мн.: УП «Технопринт», 2004. - 430 с.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов